4533: 「CQOI2018」破解 D-H 协议
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题目描述
Diffie-Hellman 密钥交换协议是一种简单有效的密钥交换方法。它可以让通讯双方在没有事先约定密钥(密码)的情况下,通过不安全的信道(可能被窃听)建立一个安全的密钥 $K$,用于加密之后的通讯内容。
假定通讯双方名为 Alice 和 Bob,协议的工作过程描述如下(其中 $\bmod$ 表示取模运算):
1. 协议规定一个固定的质数 $P$,以及模 $P$ 的一个原根 $g$。$P$ 和 $g$ 的数值都是公开的,无需保密。
2. Alice 生成一个随机数 $a$,并计算 $A=g^a\bmod P$,将 $A$ 通过不安全信道发送给 Bob。
3. Bob 生成一个随机数 $b$,并计算 $B=g^b\bmod P$,将 $B$ 通过不安全信道发送给 Alice。
4. Bob 根据收到的 $A$ 计算出 $K=A^b\bmod P$,而 Alice 根据收到的 $B$ 计算出 $K=B^a\bmod P$。
5. 双方得到了相同的 $K$,即 $g^{ab}\bmod P$。$K$ 可以用于之后通讯的加密密钥。
可见,这个过程中可能被窃听的只有 $A,B$,而 $a,b,K$ 是保密的。并且根据 $A,B,P,g$ 这 $4$ 个数,不能轻易计算出 $K$,因此 $K$ 可以作为一个安全的密钥。
当然安全是相对的,该协议的安全性取决于数值的大小,通常 $a,b,P$ 都选取数百位以上的大整数以避免被破解。然而如果 Alice 和 Bob 编程时偷懒,为了避免实现大数运算,选择的数值都小于 $2^{31}$,那么破解他们的密钥就比较容易了。
输入
第一行包含两个空格分开的正整数 $g$ 和 $P$。
第二行为一个正整数 $n$,表示 Alice 和 Bob 共进行了 $n$ 次连接(即运行了 $n$ 次协议)。
接下来 $n$ 行,每行包含两个空格分开的正整数 $A$ 和 $B$,表示某次连接中,被窃听的 $A,B$ 数值。
输出
输出包含 $n$ 行,每行一个正整数 $K$,为每次连接你破解得到的密钥。
样例输入 复制
3 31
3
27 16
21 3
9 26
样例输出 复制
4
21
25
提示
数据范围:对于 $30\%$ 的数据,$2\leq A,B,P\leq1000$。 对于 $100\%$ 的数据,$2\leq A,B