4367: 「NOI2007」 生成树计数

最近，小栋在无向连通图的生成树个数计算方面有了惊人的进展，他发现： - $n$ 个结点的环的生成树个数为 $n$ 。 - $n$ 个结点的完全图的生成树个数为 $n^{n-2}$ 。 这两个发现让小栋欣喜若狂，由此更加坚定了他继续计算生成树个数的想法，他要计算出各种各样图的生成树数目。 一天，小栋和同学聚会，大家围坐在一张大圆桌周围。小栋看了看，马上想到了生成树问题。如果把每个同学看成一个结点，邻座（结点间距离为 $1$ ）的同 学间连一条边，就变成了一个环。可是，小栋对环的计数已经十分娴熟且不再感兴趣。于是，小栋又把图变了一下：不仅把邻座的同学之间连一条边，还把相隔 一个座位（结点间距离为 $2$ ）的同学之间也连一条边，将结点间有边直接相连的这两种情况统称为有边相连，如 图 1 所示。  小栋以前没有计算过这类图的生成树个数，但是，他想起了老师讲过的计算任意图的生成树个数的一种通用方法： 构造一个 $n \times n$ 的矩阵 $A=\{a_{ij}\}$ ，其中： $$ \begin{equation} a_{ij}= \begin{cases} d_i &i=j \\ -1 &(i,j)\in V \\ 0 &(i,j)\notin V & i \neq j \end{cases} \end{equation}$$ 其中 $d_i$ 表示结点 $i$ 的度数。与 图 1 相应的 $A$ 矩阵如下所示。为了计算 图 1 所对应的生成数的个数，只要去掉矩阵 $A$ 的最后一行和最后一列，得到一个$(n-1) \times (n-1)$ 的矩阵 $B$ ，计算出矩阵 $B$ 的行列式的值，便可得到 图 1 的生成树的个数。 $$ \textbf{A}=\begin{matrix} 4 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 \\ -1 & 4 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 4 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -4 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & 4 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 4 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 4 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 4 \end{matrix} \quad \textbf{B}=\begin{matrix} 4 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 4 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & -4 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 4 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & -4 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -4 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -4\end{matrix}$$ 所以生成树的个数为 $|B|=3528$ 。小栋发现利用通用方法，因计算过于复杂而很难算出来，而且用其他方法也难以找到更简便的公式进行计算。于是，他将图做了简化，从一个地方将圆桌断开，这样所有的同学形成了一条链，连接距离为 $1$ 和距离为 $2$ 的点。例如八个点的情形如下：  这样生成树的总数就减少了很多。小栋不停的思考，一直到聚会结束，终于找到了一种快捷的方法计算出这个图的生成树个数。可是，如果把距离为 $3$ 的点也连起来，小栋就不知道如何快捷计算了。现在，请你帮助小栋计算这类图的生成树的数目。

输入中包含两个整数 $k , n$ ，由一个空格分隔。 $k$ 表示要将所有距离不超过 $k$ （含 $k$ ）的结点连接起来， $n$ 表示有 $n$ 个结点。

输出一个整数，表示生成树的个数。由于答案可能比较大，所以你只要输出答案除 $65521$ 的余数即可。

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