4364: 「NOI2007」 社交网络

在社交网络 ( Social Network ) 的研究中，我们常常使用图论概念去解释一些社会现象。不妨看这样的一个问题: 在一个社交圈子里有 $n$ 个人，人与人之间有不同程度的关系。我们将这个关系网络对应到一个 $n$ 个结点的无向图上，两个不同的人若互相认识，则在他们对应的结点之间连接一条无向边，并附上一个正数权值 $c$ ，$c$ 越小，表示两个人之间的关系越密切。我们可以用对应结点之间的最短路长度来衡量两个人 $s$ 和 $t$ 之间的关系密切程度，注意到最短路径上的其他结点为 $s$ 和 $t$ 的联系提供了某种便利，即这些结点对于 $s$ 和 $t$ 之间的联系有一定的重要程度。我们可以通过统计经过一个结点 $v$ 的最短路径的数目来衡量该结点在社交网络中的重要程度。考虑到两个结点 $A$ 和 $B$ 之间可能会有多条最短路径。我们修改重要程度的定义如下：令 $C_{s,t}$ 表示从s到t的不同的最短路的数目，$C_{s,t}(v)$ 表示经过 $v$ 从 $s$ 到 $t$ 的最短路的数目；则定义： $$ I(v)=\sum_{s \ne v,t\ne v} \frac{C_{s,t}(v)}{C_{s,t}}$$ 为结点 $v$ 在社交网络中的重要程度。为了使 $I(v)$ 和 $C_{s,t}(v)$ 有意义，我们规定需要处理的社交网络都是连通的无向图，即任意两个结点之间都有一条有限长度的最短路径。现在给出这样一幅描述社交网络的加权无向图，请你求出每一个结点的重要程度。

输入第一行有两个整数 $n$ 和 $m$ ，表示社交网络中结点和无向边的数目。 在无向图中，我们将所有结点从 $1$ 到 $n$ 进行编号。接下来 $m$ 行，每行用三个整数 $a , b , c$ 描述一条连接结点 $a$ 和 $b$ ，权值为 $c$ 的无向边。 注意任意两个结点之间最多有一条无向边相连，无向图中也不会出现自环（即不存在一条无向边的两个端点是相同的结点）。

输出包括 $n$ 行，每行一个实数，精确到小数点后 $3$ 位。第 $i$ 行的实数表示结点 $i$ 在社交网络中的重要程度。

4 4
1 2 1
2 3 1
3 4 1
4 1 1

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