4550: 「JSOI2018」防御网络

虽然成功得到了外星人的进攻计划，但 JYY 意外地发现,外星母舰对地球的攻击竟然是随机的！必须尽快在地球上部署防御网络,抵御外星人母舰的攻击。 地球上的防御网络由节点和节点之间的能量连接组成,防御网络可以看成是一个 $n$ 个点、 $m$ 条边的简单无向图 $G(V,E)$ ,每个防御节点对应 $V$ 中的一个节点、每个能量连接对应 $E$ 中的一条边。此外,在防御网络修建时考虑到能量传输效率，防御网络 $G$ 中**每个节点至多只包含在一个简单环中**。 外星母舰的攻击是随机的，每次攻击开始后， JYY 都会本次攻击的情况选择一些防御节点 $S\subseteq V$ ，并且用能量连接将这些防御节点连通，从而启动一个防御子网络。换言之， JYY 会选择 $G$ 中边集的一个子集 $H(S)\subseteq E$ ,它满足: 1. (防御子网络**连通**) 如果我们建立新图 $G'(V,H(S))$ ，即用 $H(S)$ 中的边连接 $G$ 中的节点，则对于任意选择的防御节点 $x,y\in S$ ，它们在 $G'$ 中都连通。 2. (防御子网络**最小**) 在满足条件 1 (防御子网络连通)的前提，选取的边数最小，即 $\vert H(S)\vert$ 最小。 $H(S)$ 是点集 $S$ 在图 $G$ 生成的斯坦纳树 (Steiner Tree) ，而 $\vert H(S)\vert$ 则是启动防御子网络的最小代价。考虑到外星母舰随机攻击的方式， JYY 希望你计算启动防御子网络代价的**期望**: $$\frac{1}{2^{\vert V\vert}}\sum_{S\subseteq V}\vert H(S)\vert$$

输入第一行两个整数 $n,m$ ，分别表示图中的节点数和边数。 接下来 $m$ 行,每行两个整数 $u,v(1\le u,v\le n)$ ，表示图中的一条边。输入保证没有自环和重边，并且满足每个节点至多包含在一个简单环中。

输出一行，表示启动防御子网络的期望。 假设期望写成最简分式 $P/Q$ 的形式, 则输出 $P\cdot Q^{-1} \bmod 1,000,000,007$ 的余数,其中 $Q^{-1}$ 为唯一的满足 $Q\cdot Q^{-1} \equiv 1 \pmod{1,000,000,007}$ 的整数。

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